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<!DOCTYPE html>

<title>Elementare Funktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Elementare Funktion</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>elementaren Funktionen</b> sind in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> solche <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a>, die sich aus immer wieder

auftauchenden, grundlegenden Funktionen (wie z. B. <a href="Polynom" title="Polynom">Polynomen</a> oder dem <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmus</a>) mittels der <a href="Grundrechenart" title="Grundrechenart">Grundrechenarten</a> und <a href="Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Verkettung</a> bilden lassen. Die genaue Liste der erlaubten Funktionen, aus denen elementar genannte Funktionen zusammengebaut sein dürfen, variiert manchmal von Autor zu Autor.

</p><p>Die elementaren Funktionen ergeben sich oftmals als Lösungen einer einfachen

<a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differential-</a> oder <a href="Funktionalgleichung" title="Funktionalgleichung">Funktionalgleichung</a>, und sind deshalb – mehr noch als die <a href="Spezielle_Funktionen" class="mw-redirect" title="Spezielle Funktionen">speziellen Funktionen</a> – auch für viele Naturwissenschaften wie Physik oder Chemie grundlegend, weil sie immer wieder in den unterschiedlichsten Zusammenhängen auftreten.

</p><p>Es ist für gewöhnlich relativ schwierig, zu zeigen, dass eine gegebene Funktion nicht elementar ist. Wichtige nichtelementare Funktionen, wie zum Beispiel das <a href="Fehlerintegral" title="Fehlerintegral">Fehlerintegral</a> oder der <a href="Integralsinus" title="Integralsinus">Integralsinus</a>, sind <a href="Stammfunktion" title="Stammfunktion">Stammfunktionen</a> nicht elementar integrierbarer Funktionen. Von elementar integrierbaren Funktionen wird gesprochen, wenn die Stammfunktion einer elementaren Funktion selbst elementar ist. Auch diese Sprechweise ist nicht exakt.

</p><p>Eingeführt wurden der Begriff der elementaren Funktionen von <a href="Joseph_Liouville" title="Joseph Liouville">Joseph Liouville</a> in einer Reihe von Artikeln von 1833 bis 1841.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Meistens wird eine Funktion elementar genannt, wenn sie in der folgenden Liste auftaucht:

</p>

<ul><li><a href="Konstante_Funktion" title="Konstante Funktion">konstante Funktionen</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2,\ \pi ,\ e,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2,\ \pi ,\ e,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcc0981641db8b81afd03d0172acf1574c265a84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2,\ \pi ,\ e,}" loading="lazy"></span> etc.</li>

<li><a href="Potenzfunktion" title="Potenzfunktion">Potenzfunktionen</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,\ x^{2},\ x^{3},}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,\ x^{2},\ x^{3},}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3695e7ee42bb4be7b42fba459529997915aa0da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.974ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x,\ x^{2},\ x^{3},}" loading="lazy"></span> etc.</li>

<li><a href="Wurzelfunktion" class="mw-redirect" title="Wurzelfunktion">Wurzelfunktionen</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {x}},\ {\sqrt[{3}]{x}},}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {x}},\ {\sqrt[{3}]{x}},}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b66989467640ab5a5a2b13e06fd330f02846720d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.793ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {x}},\ {\sqrt[{3}]{x}},}" loading="lazy"></span> etc.</li>

<li>natürliche <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{x}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{x}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.256ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle e^{x}}" loading="lazy"></span></li>

<li>natürlicher <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmus</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln x}" loading="lazy"></span></li>

<li><a href="Trigonometrische_Funktionen" class="mw-redirect" title="Trigonometrische Funktionen">Trigonometrische Funktionen</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin x,\ \cos x,\ \tan x,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin x,\ \cos x,\ \tan x,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8164db3360eccbaed48fba9869360d2ce335ff58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.127ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sin x,\ \cos x,\ \tan x,}" loading="lazy"></span> etc.</li>

<li><a href="Trigonometrische_Funktion#Umkehrung" title="Trigonometrische Funktion">Inverse trigonometrische Funktionen</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,\arctan x}">

<mi>arcsin</mi>

<mi>arccos</mi>

<mi>arctan</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,\arctan x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fe1435607629cc1b222a9fc72e6fe869d343ac9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.832ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,\arctan x}" loading="lazy"></span> etc.</li>

<li><a href="Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus" title="Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus">Hyperbolische Funktionen</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4109e5e3096b5e49e0d67a4741618eeb3e0844b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.634ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}" loading="lazy"></span> etc.</li>

<li><a href="Areasinus_hyperbolicus_und_Areakosinus_hyperbolicus" title="Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus">Inverse hyperbolische Funktionen</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,}">

<mi>arsinh</mi>

<mi>arcosh</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bef8c0e4c835ce0cd8f0a7030f927b0b9a920e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.782ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,}" loading="lazy"></span> etc.</li></ul>

<p>oder sich aus Funktionen in dieser Liste in endlich vielen Schritten durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Verkettung erzeugen lässt.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Man beachte, dass die Nebenbedingung „in endlich vielen Schritten“ wichtig ist, damit nicht zum Beispiel alle <a href="Potenzreihe" title="Potenzreihe">Potenzreihen</a> elementar sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>

<p>Aus der obigen Definition folgt direkt, dass folgende Funktionen alle elementar sind:

</p>

<ul><li>Addition, z. B.</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16df430ed7a23df9b160a5bbd957f306a0c3baa7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.333ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+1}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Multiplikation, z. B.</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31ff6145eb06b9724034b07d945719dd7fb50c0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.171ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot x}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<ul><li><a href="Polynom" title="Polynom">Polynomfunktionen</a>, z. B.</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7x^{5}+4x^{4}-9x^{2}+1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cb84e8abaf8ab5d0d67d8458513e0c540773053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.323ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 7x^{5}+4x^{4}-9x^{2}+1}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<ul><li><a href="Rationale_Funktion" title="Rationale Funktion">Rationale Funktionen</a>, z. B.</li></ul>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {7x^{5}+4x^{4}-9x^{2}+1}{x^{4}+9}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b744b315b2ad8c16912c8aba6ca5951a342186bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.159ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {7x^{5}+4x^{4}-9x^{2}+1}{x^{4}+9}}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Sonstige, z. B.</li></ul>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dfrac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\ln x)^{2}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd9e8ccc4d094ad7b0792163558cc15045d0aff9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.087ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\dfrac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\ln x)^{2}}}\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gegenbeispiele">Gegenbeispiele</h3></div>

<p>Ein Beispiel für eine nichtelementare Funktion ist die <a href="Fehlerfunktion" title="Fehlerfunktion">Fehlerfunktion</a>

</p>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a104ff865aa73aa367d2a07c40134e4596e7726.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:24.594ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dass diese Funktion nicht elementar ist, ist nicht offensichtlich, kann aber mit dem Risch-Algorithmus gezeigt werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften_der_Klasse_der_elementaren_Funktionen">Eigenschaften der Klasse der elementaren Funktionen</h2></div>

<p>Direkt aus der Definition folgt, dass die Klasse der elementaren Funktionen abgeschlossen ist unter Addition, Subtraktion, Produkt und Quotientenbildung, sowie Verkettung.

Mit Hilfe der <a href="Produktregel" title="Produktregel">Produktregel</a>, <a href="Quotientenregel" title="Quotientenregel">Quotientenregel</a> und <a href="Kettenregel" title="Kettenregel">Kettenregel</a> sieht man auch schnell, dass die <a href="Differentialrechnung#Ableitungsfunktion" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> einer elementaren Funktion immer wieder elementar ist (sofern die Funktion differenzierbar ist).

</p><p><a href="Stammfunktion" title="Stammfunktion">Stammfunktionen</a> von elementaren Funktionen sind oft nicht elementar, wie z. B. die oben erwähnte Fehlerfunktion.

</p><p>Die folgenden Funktionen sind alle elementar, besitzen aber keine elementare Stammfunktion:<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(x^{2}),\ {\sqrt {\log(x)}},\ {\frac {\sin(x)}{x}},\ \exp(\exp(x)),\ \log(\log(x))}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(x^{2}),\ {\sqrt {\log(x)}},\ {\frac {\sin(x)}{x}},\ \exp(\exp(x)),\ \log(\log(x))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76a5a44f4a7152893d091730399432b3debb67b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:53.188ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \exp(x^{2}),\ {\sqrt {\log(x)}},\ {\frac {\sin(x)}{x}},\ \exp(\exp(x)),\ \log(\log(x))}" loading="lazy"></span>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Elementary_functions"><i>Elementary functions</i> at Encyclopaedia of Mathematics</a></li>

<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html"><i>Elementary function</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>J. H. Davenport: <i>What Might "Understand a Function" Mean.</i> In: M. Kauers, M. Kerber, R. Miner, W. Windsteiger: <i>Towards Mechanized Mathematical Assistants.</i> Springer, Berlin / Heidelberg 2007, S. 55–65. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.semanticscholar.org/paper/What-Might-Understand-a-Function-Mean-Davenport/3b2f16e35f86d53bc75429e8431e0a453e9af3e4">(semanticscholar.org)</a></li>

<li>Maxwell Rosenlicht: <i>Liouville's Theorem on Functions with Elementary Integrals.</i> In: <i>Pacific Journal of Mathematics.</i> 24, No. 1, 1968, S. 153–161.</li>

<li>Maxwell Rosenlicht: <i>Integration in Finite Terms.</i> In: <i>The American Mathematical Monthly.</i> 79, 1972, S. 963–972.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite style="font-style:italic">Ordinary Differential Equations</cite>. Dover, 1985, ISBN 0-486-64940-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>17</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/ordinarydifferen00tene_0/page/17">online</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elementare+Funktion&rft.btitle=Ordinary+Differential+Equations&rft.date=1985&rft.genre=book&rft.isbn=0486649407&rft.pages=17&rft.pub=Dover" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.rangevoting.org/MarchisottoZint.pdf"><i>Elena Anne Marchisotto, Gholam-Ali Zakeri: An Invitation to Integration in Finite Terms</i></a></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>